Question

F1 F2为椭圆焦点 P为椭圆上任意一点 ∠F1 P F2= 60° 求离心率e取值范围

Answer 1

设PF1=x,由椭圆第二定义,PF2=2a-x

由余弦定理

[x2+(2a-x)2-4c2]/[2x*(2a-x)]=1/2

化简,得

3x2-6ax+4a2-4c2=0

令f(x)=3x2-6ax+4a2-4c2

因为∠F1 P F2= 60° ,P为椭圆上任意点

即

f(x)在(-a,a)上有解（显然x=a是不行的,剔除了）

又f(x)对称轴为x=a

因此 f(x)在(-a,a)上有解

等价于 f(-a)>0,f(a)