数学分析中聚点实际上有三个等价的定义,你问到的是其中的两个,下面是他们的等价性的证明.
（1）A是一个点集,x0是一个定点（可以不属于A）,如果x0的任意邻域都含有A中的无穷多个点,则称x0是A的一个聚点.
（2）A是一个点集,x0是一个定点（可以不属于A）,如果x0的任意邻域都含有A中异于x的点,则称x0是A的一个聚点.
（1）推（2）是显然的,取其任意一个邻域,此邻域有无穷多点,当然有异于x0的点.
（2）推（1）可以用构造法来证：
取δ1=1,则存在x1∈U开心（x0,δ1）∩A,
取δ2=min（1/2,ㄧx0-x1ㄧ）,则存在存在x2∈U开心（x0,δ2）∩A,且有x2≠x1
......
取δn=min（1/n,ㄧx0-xn-1ㄧ）,则存在存在xn∈U开心（x0,δn）∩A,且有xn与x1,x2,...,xn-1互不相同.
这样一直下去就得到了无限个点.
证法中,构造无限个点时用了点技巧,可以画个数轴作个图帮助理解.
以后在学习泛函分析、点集拓扑学的时候还会遇到聚点,开、闭集,等概念.在泛函分析中,度量空间中的聚点也有类似的三个等价定义.而在点集拓扑学中则只有一个定义类似于（2）,只能用有点来定义.