Question

下列命题：①∀x∈R，不等式x 2 +2x＞4x-3成立；②若log 2 x+log x 2≥2，则x＞1；③命题“若a

Answer 1

对于①，不等式x ²+2x＞4x-3整理，得

原不等式等价于x ²-2x+3＞0，

∵x ²-2x+3=（x-1） ²+2≥2＞0

∴原不等式恒成立，故①正确；

对于②，因为log ₂x•log _x2=1，两个数互为倒数，

所以log ₂x与log _x2同号，当log ₂x+log _x2≥2时，

可得log ₂x与log _x2都为正数，

根据基本不等式，有log ₂x+log _x2≥2

log 2 x• log x 2 =2 ，

此时有log ₂x＞0且log _x2＞0，

∴x＞1，故②正确；

对于③，命题“若a＞b＞0且c＜0，则

c

a ＞

c

b ”的逆否命题与原命题同真同假，

因此判断原命题的真假性即可，

若a＞b＞0，两边都除以ab，得 0＜

1

a ＜

1

b …（*），

又因为c＜0，将（*）两边都乘以c，得0＞

c

a ＞

c

b ，

所以原命题是真命题，故③是真命题，正确；

对于④，∵x ²≥0对任意的x∈R均成立，

∴命题p：“∀x∈R，x ²+1≥1”是真命题．

∵存在x ₀=0，使得 x 0 2 -2x ₀-1=-1≤0

∴命题q：“∃x ₀∈R， x 0 2 -2x ₀-1≤0”是真命题，

∴命题¬q是假命题．

∵命题“p∧¬q”当中有一个真命题，另一个是假命题

∴“p∧¬q”是假命题，故④不正确．

综上所述，真命题有三个：①②③，

故答案为：①②③