∫cosx/sin²(2x)dx
=∫1/4sin²xcos²xdsinx
=∫1/4sin²x(1-sin²x)dsinx
=[∫1/sin²x+1/(1-sin²x)dsinx]/8
=[∫1/sin²xdsinx+∫1/(1+sinx)(1-sinx)dsinx]/8
=(∫1/sin²xdsinx)/8+[∫1/(1+sinx)dsinx+∫1/(1-sinx)dsinx]/16
=(∫1/sin²xdsinx)/8+[∫1/(1+sinx)d(1+sinx)-∫1/(1-sinx)d(1-sinx)]/16
=-1/8sinx+[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/16+C
=ln[(1+sinx)/(1-sinx)]/16-1/8sinx+C
=ln[(1+sinx)²/(1+sinx)(1-sinx)]/16-cscx/8+C
=ln[(1+sinx)²/(1-sin²x)]/16-cscx/8+C
=ln[(1+sinx)²/cos²x]/16-cscx/8+C
=[ln|(1+sinx)/cosx|-cscx]/8+C
=[ln|secx+tanx|-cscx]/8+C