知识分析
1. 有关分数指数幂
如何理解分数指数幂呢?
我们不妨设,凭感觉没有经过严格的证明,只是把整数指数幂运算“推广”到分数,是不科学的,但可以借此理解分数指数幂的定义.）
我们所求的x是这样一个数,它的n次方等于,由此感觉到x为的n次方根,故学习时先提出了根式的概念：一般地,如果那么x叫做a的n次方根,式子叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数.
回到原来的讨论,则是的n次方根,即.类似地,我们可以定义负分数指数幂.
到目前为止,我们共学习了下面一些幂,其中正整数指数幂是根本,并由此拓展到零指数幂和负整数指数幂,于是我们得到了整数指数幂.分数指数是在正整数指数的概念推广到整数指数后指数概念的又一推广,推广后指数的取值范围为有理数,它是根式的一种新的表示法.
正整数指数幂
零指数幂
负整数指数幂
正分数指数幂
负分数指数幂
2. 有关幂的运算性质
这也是由整数指数幂的运算性质推广而来的.
根据分数指数幂和根式的关系,根式的运算可以与分数指数幂的运算相互转化.对于运算结果,不统一要求用什么形式来表示.没有特殊要求时,可以用分数指数幂的形式表示,如果有特殊要求,可以根据要求写出结果,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数,同时注意根式要化简为最简并合并同类根式.
3. 有关指数函数
函数叫做指数函数,其中x是自变量,.
为什么要在定义中规定呢?原因是在中,若,则,这是一个常数函数,并不是指数函数.为了保证x取分数时都有意义,必须要求；但是时,只对有意义,且是定义在上的常数函数,因此,定义指数函数时,要规定.
对于指数函数的定义,按课本上的说法它是一种形式定义,即解析式的特点必须是的样子,不能有一点差异.对底数a的限制条件的理解与认识也是认识指数函数的重要内容,可以通过具体的例子来理解对底数、指数都有什么限制要求.因为对这个条件的认识不仅关系到对指数函数的认识及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中对底数的认识,所以一定要真正了解它的由来.
4. 指数函数的性质
指数函数的性质可以结合函数图象来掌握：
图象 时的图象 时的图象
性质 （1）定义域为R,值域为（0,＋∞）
（2）,即x = 0时,y = 1,图象都经过（0,1）点
（3）,即x = 1时,y等于底数a,图象都经过(1,a)点
（4）在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
（5）
（6）既不是奇函数,也不是偶函数
注意：（1）利用性质（3）可以让我们根据几个指数函数图象判断其底数大小,如下图,可知,由此可知底数对函数值变化的影响.
（2）
【典型例题】例1. 把根式表示成分数幂的形式.
解析：原式＝
另原式＝
点评：两种解法风格不同,思考角度也不同,解法2更漂亮.
例2. 计算：（1）
（2）
（3）
解析：（1）原式＝
（2）原式＝
（3）原式＝
点评：一般地,遇到小数化成分数；遇到指数是负数,可以对调底数的分子和分母,将负指数化为正指数.
例3.化简下列各式：（1） （2）
解析：（1）原式＝
（2）原式＝
＝－＝－2
点评：解题时要从总体上把握代数式的结构特点,比如对于分式,应该想到对分子分母分解因式,然后约分.
例4. 求函数的定义域.
解析：由题意,得：,即.
因为6>1,所以,解得：,
故函数的定义域是[－2,1]
点评：求函数定义域,一般转化为解不等式或解不等式组,从而求出自变量的取值范围.
例5. 判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
解析：（1）定义域是R,关于原点对称.
因为,所以是奇函数.
（2）定义域是R,关于原点对称.
因为,所以是偶函数.
点评：要判断函数奇偶性,首先考虑定义域是否关于原点对称,其次看的关系.
例6. 比较的大小.
解析：首先考虑到,且由于,所以函数在R上单调递减.
故由,得：
再者由于,故函数在R上单调递增.因为,所以
所以
点评：在进行数的大小比较时,若底数相同,则可以根据指数函数的性质得出结果.若底数不同,则首先考虑能否化成同底数,然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的,要考虑引进第三个数（如0,1等）分别与之比较,从而得出结果.总之比较时要尽量转化成同底数的形式,指数函数的单调性进行判断.
例7. 讨论函数的单调性,并求其值域.
解析：函数的定义域是R.令,则,易知是R上减函数.
由于函数在上单调递减,在上单调递增.
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
因为,
所以的值域是点评：本题利用了复合函数单调性的判断方法——“同增异减”.注意辨清内外函数及其单调性,以及它们之间的联系.
【模拟试题】
1、计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2、计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3、函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
4、已知,下列不等式中成立的一个是（ ）
A. B. C. D.
5、设,则（ ）
A. B.
C. D.
6、函数（ ）
A. 是奇函数但不是偶函数B. 是偶函数但不是奇函数
C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数
7、函数的图象是（ ）
8、设,则x的取值范围是__________________
9、函数恒过点（1,10）,则m＝_________________
10、函数的递增区间是__________________,递减区间是_______________.
11、计算：
12、求函数的最大值和最小值.
13、设
（1）证明：不论a为何实数,均为增函数；
（2）试确定a的值,使成立.
【试题答案】
1. C 2. C 3. B 4. C 5. D 6. B 7. B
8. 9. 9 10.
11. 原式＝－1
12.
令,则,因为,所以,
所以,即,所以函数的最小值是,最大值是57.
13. （1）证明：设,则
由于指数函数在R上是增函数,且,所以,即,
又由得,所以,因此与a的取值无关,所以不论a为何值,均为增函数.
（2）由得：.
所以