如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,BD是对角线.点E、F分别是直线CD、AB上的动点,且EF⊥BD与点M.P是直线AB上的一点,PE=PF,EP交BD或其延长线与点N.
（1）EF的长
（2）在点E由点C向点D的运动过程中,试猜想：EN与AF有何数量关系?并证明你的结论.
（3）当EF与AD边相交时,设交点为Q,AF为x,△AFQ与△DEQ的面积和记为S,求S与x的函数关系式及S的最小值
1﹚过E作EH⊥AB于H
则四边形ADEH是矩形 ∴EH=AD=6
∵EF⊥BD于M ∴在RT⊿FMB中sin∠F=cos∠FBM
而在RT⊿ABD中cos∠FBM=AB／BD=8／10=4／5 ∴sin∠F=4／5
∵在RT⊿EFH中sin∠F=EH／EF ∴4／5=6／EF ∴EF=7.5
2﹚因为E由C向D运动,所以F也沿着B—A方向运动
则EN与AF的数量关系：
①当F在A、B之间时：EN－AF=4.5cm
②当F在点A上时：EN－AF=EN=4.5cm
③当F在BA延长线上时：EN＋AF=4.5cm
证明：不管F在AB的什么位置
∵PE=PF ∴∠PEF=∠PFE
又∵矩形ABCD中 AB∥CD ∴∠PFE=∠DEF ∴∠DEF=∠PEF
∵EF⊥BD ∴∠EMD=∠EMN=90° ME=ME ∴⊿DEM≌⊿NEM﹙ASA﹚
∴EN=DE
过A作AH∥EF交DC与H 又∵矩形ABCD中 AB∥CD ∴四边形AFEH是平行四边形
∴AH=EF=7.5cm 且AF=HE 又∵在RT⊿ADH中AD=6 ∴根据勾股定理得DH=4.5cm
①当F在A、B之间时,DE－HE =DH ∴EN－AF=DH=4.5cm
②当F在点A上时,此时DH=DE,AF=0 ∴EN－AF=4.5cm
③当F在BA延长线上时,DH=DE＋EH ∴EN＋AF=DH=4.5cm
﹙3﹚
∵sin∠F =4／5 ∴cos∠F =3／5 tan∠F=4／3 ∴在Rt⊿AFQ中AF=x,则AQ=4x／3
∴S⊿AFQ=½AF·AQ =2x²／3
∵AB∥CD ∴∠DEQ=∠F ∴tan∠DEQ=3／4
根据第二问③可知道：DE＋AF=4.5cm ∴DE=4.5－x
∴DQ=4DE／3 ∴S⊿DEQ=2DE²／3=2﹙4.5－x﹚²／3
∴S=2x²／3＋2﹙4.5－x﹚²／3
整理得：S=4x²／3－6x＋27／2
最小值：27／4 cm²