Question

设方程x^2+ax+b-2=0 (a,b∈R）在（-无穷,-2]∪[2,+无穷）上有实根,则a^2+b^2的最小值

Answer 1

根据题意可知（有实根即有交点）,x1=2,列式得；

{-a-√[a^2-4(b-2)]}/2=2 (2)

(1)转化为{a+√[a^2-4(b-2)]}/2>=2 （3）

（2）（3）两式相加,得

√[a^2-4(b-2)]>=4

a^2-4(b-2)>=16 （4)

设a^2+b^2=t,a^2=t-b^2,代入（4）

t-b^2-4(b-2)>=16

t>=b^2+4b+8

t>=(b+2)^2+4>=4

所以a^2+b^2的最小值为4