Question

已知函数f（x）=x+ 1 x +a 2 ，g（x）=x 3 -a 3 +2a+1，若存在ξ 1 、ξ 2 ∈[ 1 a

Answer 1

存在ξ ₁、ξ ₂∈[

1

a ，a ]（a＞1），使得|f（ξ ₁）-g（ξ ₂）|≤9，等价于存在x∈[

1

a ，a ]（a＞1），使得|f（x） _min-g（x） _max|≤9

∵函数f（x）=x+

1

x +a ²，ξ ₁∈[

1

a ，a ]（a＞1），∴f（x）=x+

1

x +a ²≥2+a ²，即f（x） _min=2+a ²；

∵g（x）=x ³-a ³+2a+1，∴g′（x）=3x ²，∴函数g（x）在[

1

a ，a ]（a＞1）上单调递增，

∴g（x） _max=g（a）=2a+1

∴|2+a ²-2a-1|≤9

∴-3≤a-1≤3

∴-2≤a≤4

∵a＞1，∴1＜a≤4．

故答案为：（1，4]．