如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,对角线AC和BD交于点O,BC=8cm,BD=6cm,梯形的高为3cm

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  • 解题思路:(1)根据等腰梯形的性质求出∠ABC=∠DCB,证△ABC≌△DCB,推出∠OBC=∠OCB,证GB=GE即可推出答案;

    (2)过D作DH⊥BC于H,过C作CM⊥BD交BD的延长线与M,CN⊥PE于N,求出△BDC的高CM,证矩形NPMC,推出CM=PN=4,证∠OCB=∠BCN,推出EN=EQ,求出PN=PE+EQ即可.

    (1)GE、EF的长度和的特点是GE+EF=OB.

    理由是:∵等腰梯形ABCD,AD∥BC,AB=DC,

    ∴∠ABC=∠DCB,

    ∵BC=BC,AB=DC,

    ∴△ABC≌△DCB,

    ∴∠OBC=∠OCB,

    ∴OB=OC,

    ∵EG∥AC,

    ∴∠GEB=∠OCB,

    ∴∠GEB=∠OBC,

    ∴BG=GE,

    ∵EG∥AC,EF∥BD,

    ∴四边形OGEF是平行四边形,

    ∴EF=OG,

    ∴EG+EF=BG+OG=OB,

    即GE+EF=OB.

    (2)EP+EQ=4,

    理由是:

    过D作DH⊥BC于H,过C作CM⊥BD交BD的延长线与M,CN⊥PE于N,

    在△BDC中由三角形的面积公式得:[1/2]BC•DH=[1/2]BD•CM,

    BC×DH=BD×CM,

    8×3=6CM,

    ∴CM=4,

    ∵CM⊥BD,CN⊥PE,EP⊥BD,

    ∴∠N=∠CMP=∠EPM=90°,

    ∴四边形NPMC是矩形,

    ∴PN=CM=4,CN∥BD,

    ∴∠OBC=∠BCN,

    ∵∠OBC=∠OCB,

    ∴∠OCB=∠BCN,

    ∵EQ⊥AC,

    ∴∠EQC=∠N=90°,

    ∴QE=EN,

    ∴EP+EQ=EN+EP=PN=4,

    即EP+EQ=4.

    点评:

    本题考点: 三角形的面积;垂线;平行线的性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;矩形的判定与性质;等腰梯形的性质.

    考点点评: 本题主要考查对等腰梯形的性质,等腰三角形的性质和判定,平行线的性质,平行四边形的性质和判定,矩形的性质和判定,三角形的面积,角平分线的性质,垂线等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.