求所有的有理数k,使得方程kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数

1个回答

  • 这是一道超奥数题.

    答:使得方程kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数的所有有理数k=-1/3或1

    kx^2+(k+2)x+(k-1)=0

    2x-1=0

    x=1/2,不符合已知条件,故k≠0

    kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数

    △=(k+2)^2-4k(k-1)≥0

    3k^2-8k-4≤0

    (4-2√7)/3≤k≤(4+2√7)/3

    x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)

    -3k^2+8k+4=-3(k-4/3)^2+4+16/3

    -3(k-4/3)^2≤0

    -3k^2+8k+4≤4+16/3≤9

    可知-3k^2+8k+4=0,1,2^2,3^2

    讨论:

    (1)-3k^2+8k+4=0

    k=(4±2√7)/3

    x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)

    =-1/2-1/k

    x不全是整数,不符合已知条件.

    (2)-3k^2+8k+4=1

    k=(4±5)/3=3,-1/3

    x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)

    =[-k-2±1)]/(2k)

    =-1/2-1/k±1/(2k)

    k=3,x不是整数,不符合已知条件;

    k=-1/3

    x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)

    =[-k-2±1)]/(2k)

    =-1/2-1/(-1/3)±1/(-2/3)

    =5/2±3/2

    x=1,4,符合已知条件;

    (3)-3k^2+8k+4=2^2

    k=0,8/3,但k≠0

    k=8/3

    x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)

    =-1/2-1/k±2/(2k)

    =-1/2-1/k±1/k

    x不是整数,不符合已知条件.

    (4)-3k^2+8k+4=9=3^2

    k=1,5/3

    k=1

    x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)

    =(-1-2±3)/2

    =(-3±3)/2

    x=0,-3是整数,符合已知条件

    k=5/3

    x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)

    =(-5/3-2±3)/(2*5/3)

    =(-11±9)/10

    x不是整数,不符合已知条件.

    可知,符合已知条件的k值只有

    k=-1/3,1