在△ABC中,求证:(1)sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC;(2)sinA+sinB-si

2个回答

  • 解题思路:(1)△ABC中,利用余弦定理可得a2+b2-c2=2ab•cosC.再利用正弦定理可得sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC,可得要证的等式成立.

    (2)利用三角函数的恒等变换化简等式右边,结果正好等于等式的左边,可得要证的等式成立.

    (1)证明:△ABC中,利用余弦定理可得cosC=

    a2+b2−c2

    2ab,

    即a2+b2-c2=2ab•cosC.

    再利用正弦定理可得sin2A+sin2B-sin2C=2sinAsinBcosC,

    ∴要证的等式成立.

    (2)△ABC中,∵等式右边=4sin[A/2]sin[B/2]cos[C/2]=4sin[A/2]sin[B/2]cos[π−A−B/2]

    =4sin[A/2]sin[B/2]sin[A+B/2]=4sin[A/2]sin[B/2](sin[A/2]cos[B/2]+cos[A/2]sin[B/2])

    =2sin2

    A

    2sinB+2sinAsin2

    B

    2=(1-cosA)sinB+sinA(1-cosB)

    =sinB+sinA-(sinBcosA+cosBsinA)=sinA+sinB-sin(A+B)

    =sinA+sinB-sinC=左边,

    ∴要证的等式成立.

    点评:

    本题考点: 三角函数的化简求值.

    考点点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,三角函数的恒等变换及化简求值,属于中档题.