如图,在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,平面A 1 BC⊥侧面A 1 ABB 1 .

1个回答

  • (Ⅰ)证明:如图,过点A在平面A 1ABB 1内作AD⊥A 1B于D,

    由平面A 1BC⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC∩侧面A 1ABB 1=A 1B,得

    AD⊥平面A 1BC,又BC⊂平面A 1BC,

    所以AD⊥BC.

    因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,

    则AA 1⊥底面ABC,

    所以AA 1⊥BC.

    又AA 1∩AD=A,从而BC⊥侧面A 1ABB 1

    又AB⊂侧面A 1ABB 1,故AB⊥BC.

    (Ⅱ)解法1:连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD是直线AC与平面A 1BC所成的角,∠ABA 1是二面角A 1-BC-A的平面角,即∠ACD=θ,∠ABA 1=φ,

    于是在Rt△ADC中, sinθ=

    AD

    AC ,在Rt△ADB中, sinφ=

    AD

    AB ,

    由AB<AC,得sinθ<sinφ,又 0<θ,φ<

    π

    2 ,所以θ<φ,

    解法2:由(Ⅰ)知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB 1所在的直线分

    别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

    设AA 1=a,AC=b,

    AB=c,则B(0,0,0),A(0,c,0), C(

    b 2 - c 2 ,0,0), A 1 (0,c,a) ,

    于是

    BC =(

    b 2 - c 2 ,0,0),

    B A 1 =(0,c,a) ,

    AC =(

    b 2 - c 2 ,-c,0),

    A A 1 =(0,0,a) .

    设平面A 1BC的一个法向量为n=(x,y,z),

    则由

    n•

    B A 1 =0

    n•

    BC =0 .得

    cy+az=0

    b 2 - c 2 x =0 .

    可取n=(0,-a,c),于是 n•

    AC =ac>0,

    AC 与n的夹角β为锐角,则β与θ互为余角. sinθ-cosβ=

    n•

    AC

    |n|•|

    AC | =

    ac

    b

    a 2 + c 2 , cosφ=

    B A 1 •

    BA

    |

    B A 1 |•|

    BA | =

    c

    a 2 + c 2 ,

    所以 sinφ=

    a

    a 2 + c 2 ,

    于是由c<b,得

    ac

    b

    a 2 + c 2 <

    a

    a 2 + c 2 ,

    即sinθ<sinφ,又 0<θ,φ<

    π

    2 ,所以θ<φ,