(Ⅰ)证明:如图,过点A在平面A 1ABB 1内作AD⊥A 1B于D,
由平面A 1BC⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC∩侧面A 1ABB 1=A 1B,得
AD⊥平面A 1BC,又BC⊂平面A 1BC,
所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,
则AA 1⊥底面ABC,
所以AA 1⊥BC.
又AA 1∩AD=A,从而BC⊥侧面A 1ABB 1,
又AB⊂侧面A 1ABB 1,故AB⊥BC.
(Ⅱ)解法1:连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD是直线AC与平面A 1BC所成的角,∠ABA 1是二面角A 1-BC-A的平面角,即∠ACD=θ,∠ABA 1=φ,
于是在Rt△ADC中, sinθ=
AD
AC ,在Rt△ADB中, sinφ=
AD
AB ,
由AB<AC,得sinθ<sinφ,又 0<θ,φ<
π
2 ,所以θ<φ,
解法2:由(Ⅰ)知,以点B为坐标原点,以BC、BA、BB 1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设AA 1=a,AC=b,
AB=c,则B(0,0,0),A(0,c,0), C(
b 2 - c 2 ,0,0), A 1 (0,c,a) ,
于是
BC =(
b 2 - c 2 ,0,0),
B A 1 =(0,c,a) ,
AC =(
b 2 - c 2 ,-c,0),
A A 1 =(0,0,a) .
设平面A 1BC的一个法向量为n=(x,y,z),
则由
n•
B A 1 =0
n•
BC =0 .得
cy+az=0
b 2 - c 2 x =0 .
可取n=(0,-a,c),于是 n•
AC =ac>0,
AC 与n的夹角β为锐角,则β与θ互为余角. sinθ-cosβ=
n•
AC
|n|•|
AC | =
ac
b
a 2 + c 2 , cosφ=
B A 1 •
BA
|
B A 1 |•|
BA | =
c
a 2 + c 2 ,
所以 sinφ=
a
a 2 + c 2 ,
于是由c<b,得
ac
b
a 2 + c 2 <
a
a 2 + c 2 ,
即sinθ<sinφ,又 0<θ,φ<
π
2 ,所以θ<φ,