Question

已知函数f(x)=x^3+2x^2+x+4,g(x)=ax^2+x-8,若对任意的x>=0都有f(x)>=g(x),求实

Answer 1

由f(x)≥g(x)得,x³+2x²+x+4≥ax²+x-8,化简得

x³+2x²+12≥ax²

当x=0时,上面的不等式恒成立；

当x≠0时,因为x²>0,上面的不等式两边同除以x²,不等式不变号得

a≤x+2+12/ x²,要使该不等式对于任意的x≥0都成立,则a一定小于等于x+2+12/ x²的最小值.而

x+2+12/ x²=2+ (x/2)+(x/2)+(12/ x²)≥2+3[(x/2)*(x/2)*(12/ x²)]^(1/3)=2+3*3^(1/3) (利用的重要不等式)

也即x+2+12/ x²的最小值为2+3*3^(1/3),所以a≤2+3*3^(1/3)

综上所述,a的取值范围为a≤2+3*3^(1/3)

你也可以用导数的方法,避开重要不等式.