已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABE和等边△AC

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  • 解题思路:过E作EG丄AB于G,由△ABE为等边三角形得到BG=[1/2]AB,∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°,AE=AB,Rt△ABC中根据30°所对的边等于斜边的一半得到BC=[1/2]AB,则AG=BC,然后根据直角三角形全等的判定方法得到Rt△EAG≌Rt△ABC(HL),则EG=AC;再由△DAC为等边三角形,则AC=AD,∠DAC=60°,可得到EG=AD,∠DAF=30°+60°=90°,根据全等三角形的判定方法可证得△EFG≌△DFA,可有EF=FD.

    证明:过E作EG丄AB于G,

    如图,

    ∵△ABE为等边三角形,

    ∴BG=[1/2]AB,∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°,AE=AB,

    ∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,

    ∴BC=[1/2]AB,

    ∴AG=BC,

    在Rt△EAG和Rt△ABC中

    AE=AB

    AG=BC,

    ∴Rt△EAG≌Rt△ABC(HL),

    ∴EG=AC,

    ∵△DAC为等边三角形,

    ∴AC=AD,∠DAC=60°,

    ∴EG=AD,∠DAF=30°+60°=90°,

    在Rt△EFG和Rt△DFA中

    EG=DA

    ∠EFG=∠DFA

    ∠EGF=∠DAF,

    ∴△EFG≌△DFA,

    ∴EF=FD.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

    考点点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质:有两组角分别相等,且其中一组角所对的边对应相等,那么这两个三角形全等;全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质.