Question

等差数列{a n }是递增数列，前n项和为S n ，且a 1 ，a 2 ，a 5 成等比数列，S 5 =a 3 2

Answer 1

（1）由等差数列{a _n}是递增数列，可设{a _n}的公差为d（d＞0），

∵a ₁，a ₂，a ₅成等比数列，S ₅=a ₃ ²，

∴

a 2 2 = a 1 a 5

5 a 3 = a 3 2 ，

解得

a 1 =1

d=2 ，∴a _n=2n-1．

（2）假设存在正整数m，l，使数列a _m，a _m+l，a _m+2l为等比数列，

则a _m+l ²=a _ma _m+2l，而a _n=2n-1，

∴[2（m+l）-l] ²=（2m-1）[2（m+2l）-l]，

解得l=0，与l为正整数矛盾，故假设不成立，

对于任意的正整数m，l，数列a _m，a _m+l，a _m+2l都不可能为等比数列．

（3）∵a _m=2m-1，a _m+l=2m+2l-1，a _m+kl=2m+2kl-1，

数列a _m，a _m+l，a _m+kl为等比数列的充要条件是（2m+2l-1） ²=（2m-1）（2m+2kl-1），

∴4（2m-1）l+4l ²=（2m-1）2kl，

∵l为正整数，∴2（2m-1）+2l=（2m-1）k，

即（2m-1）（k-2）=2l，

对于任意给定的正整数m，2m-1为奇数，而2l为偶数，

∴k-2为偶数，

记k-2=2t（t∈N ⁺），

即k=2+2t，t∈N ⁺，

此时l=（2m-1）t∈N ⁺，

综上所述，正整数k的取值集合为{k|k=2+2t，t∈N ^*}．