∫∫xdxdy ＝∫{D1+D2}∫xdxdy + ∫{D3+D4}∫xdxdy
其中被积函数 x 是奇函数,所以可以简化
(1) 区域D中的部分关于 y 轴为对称,(你的D1和D2),f.(x,y)为 x 的奇函数,则
∫{D1+D2}∫xdxdy ＝0
---------注意关于 y 轴对称的,f 应该是看是否是 x 的奇函数,而不是看y
---------就像∫{单位圆}∫xdxdy ＝0-------因为f 是 x 的奇函数,而圆关于y轴对称
∫{单位圆}∫y dxdy ＝0-------因为f 是 y 的奇函数,而圆关于x轴对称
-----当然这里的单位圆有点特殊,你可以继续考虑右半圆或者上半圆
----有点绕口,画图就明白了,(不严格地说)关于y轴对称的,f 的图形就是y不变,而x正好相反
虽然图形确实有对称性,这里但是被积函数是不是也是有奇偶性呢?
(2) 区域D中的部分关于 x 轴为对称,(你的D3和D4),f.(x,y)为 y 的偶函数(相当于x¹ * y^0),则
∫{D3+D4}∫xdxdy ＝2∫{D3}∫xdxdy ＝
方法1 (先y后x)＝2∫{x从-1→0} x ∫{y从0→-x³}dy dx ------这里的D3区域似乎不如直接去D3区域方便,主要是因为构造第2象限的D3内的立方函数关系：y ＝ - x³
---------我是故意这样取的,目的是说明你的问题哦,D4参见方法3
＝2∫{x从-1→0} x * ( -x³ ) dx
＝2∫{x从-1→0} ( - x⁴ ) dx
＝ - 2 / 5
方法2(先x后y) ＝2∫{y从 0→1} ∫{x从-1→y} x dx dy
＝2∫{y从 0→1} ( x²) / 2 | {x从-1→三次根号(-x)} dy
＝2∫{y从 0→1} [ (-y)^(2/3) - 1] / 2 dy
＝∫{y从 0→1} [ y^(2/3) - 1] dy
＝3/5 - 1 ＝ - 2 / 5
方法3(用D4,先y后x)＝2∫{x从-1→0} x ∫{y从x³→0}dy dx
＝2∫{x从-1→0} x * ( -x³ ) dx
＝下同
方法4(不管什么对称,直接求,用先y后x)
原积分＝∫∫xdxdy ＝∫{x从-1→+1} x ∫{y从x³→1}dy dx
＝∫{x从-1→+1} x * ( 1 - x³ ) dx
＝下面的你一定会
方法4(不管什么对称,直接求,用先x后y)
原积分＝∫∫xdxdy ＝∫{y从-1→+1} ∫{x从-1→三次根号y} x dx dy
＝∫{y从-1→+1} [ y^(2/3) - 1] / 2 dy
＝End
方法5 好累啊,下次吧