用n个三角形最多可以将平面分成[2+3n(n-1)]部分,试证明?

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  • 证法1:

    设n个三角形最多将平面分成an个部分.

    n=1时,a1=2;

    n=2时,第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点,三条边与第一个三角形最多有2×3=6(个)交点.这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段,这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分,从而平面也增加了6个部分,即a2=2+2×3.

    n=3时,第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3=12(个)交点,从而平面也增加了12个部分,即: a3=2+2×3+4×3.

    ……

    一般地,第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有2(n-1)×3个交点,从而平面也增加2(n-1)×3个部分,故

    an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3

    =2+〔2+4+…+2(n-1)〕×3

    =2+3n(n-1)=3n^2-3n+2.

    证法2:

    1个三角形把平面分成2部分

    第二个三角形和第一个三角形最多有6个交点,最多可以分成8个平面,增加了6个

    第三个三角形和前两个三角形每一个最多都能有6个交点,一共多了2x6=12个交点,平面就能多2x6=12个

    以此类推,第N个三角形可以把平面最多分成:

    2+1x6+2x6+3x6+.+(n-1)x6

    =2+6x(1+2+3+.+(n-1))

    =2+3n(n-1)