Question

数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=[n+2/n]Sn（n=1，2，3，…）．证明：

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）要证数列{

S

n

n

}是等比数列；需证

S

n+1

n+1

S

n

n

＝2

（n=1，2，3，…）成立，另外应说明

S

2

2

S

1

1

＝2

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{

S

n

n

}是首项为1，公比为2的等比数列，可得S_n的通项公式，代入a_n+1=[n+2/n]S_n（n=1，2，3，…）可得S_n+1=4a_n．说明当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．

（I）证：由a₁=1，a_n+1=[n+2/n]S_n（n=1，2，3，），

知a₂=[2+1/1]S₁=3a₁，

S2

2＝

4a1

2＝2，

S1

1＝1，∴

S2

2

S1

1＝2

又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），则S_n+1-S_n=[n+2/n]S_n（n=1，2，3，），

∴nS_n+1=2（n+1）S_n，

Sn+1

n+1

Sn

n＝2（n=1，2，3，…），

故数列{

Sn

n}是首项为1，公比为2的等比数列．

（II）证明：S_n+1=4a_n．当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．

由（1）知：

Sn

n＝1×2n−1，∴S_n=n2^n-1

当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=2ⁿ（2n-n+1）=（n+1）2ⁿ=S_n+1，等式成立．

因此对于任意正整数n≥1都有S_n+1=4a_n．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 要证一个数列是等比数列，利用定义，每一项与它的前一项之比为一个常数，在这儿注意，n=1时，不在其中，所以要加以说明；同样第二个问题中，an+1=[n+2/n]Sn（n=1，2，3，…），这个式子也不包括a1应加以说明．