Question

一个圆锥内有一个半径为1的内切圆,求所有这样的圆锥的体积的最小值

Answer 1

可转化为等腰三角形和其内切球关系问题.画它的剖面图

设圆锥母线与其旋转轴的交角为α,则圆锥高h=1+1/sinα.

底面半径为r=h·tanα=tanα+1/cosα

则圆锥的体积为V=(π/3)h·r^2=(π/3)(1+1/sinα)(tanα+1/cosα)^2=(1+sinα)^3/sinα(cosα)^2=-1+4/(1-sinα)+1/sinα

当4/(1-sinα)=1/sinα,即sinα=1/5时,V取最小值,∴V最小==-1+4/(1-1/5)+5=9