Question

微分方程y''－2y'²tany＝0满足条件y(0)＝0,y'(0)＝1的解是什么

Answer 1

令y'=p,则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy,于是原方程为

pdp/dy=2p^2*tany,由于p不为0（y'(0)=1),因此得

dp/dy=2p*tany

dp/(2p)=tany*dy

d(lnp)=--2d(ln(cosy))

lnp=--2lncosy+C,代入已知条件

ln1=--2lncos0+C,C=0,故

dy/dx=p=1/cos^2y,

cos^2ydy=dx,

y/2+sin2y/4=x+D,已知y(0)=0代入得

D=0,于是解为

y/2+(sin2y)/4=x