Question

已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2，Q是 上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交 于M、N两点，对于任意直径

Answer 1

60°

以

为x轴，点P到

的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=

=1+r。所以x=±

, ∴tan∠MAN=

，令2m=h ²+k ²-3，tan∠MAN=

，所以m+r

k

=nhr，∴m+(1-nh)r=

，两边平方，得：m ²+2m(1-nh)r-(1-nh) ²r ²=k ²r ²+2k ²r-3k ²，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以

，由（1）（2）式，得m="0," k=0，由（3）式，得n=

。由2m=h ²+k ²-3得h=±

，所以tan∠MAN=

=h=±

。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。