Question

求一个正交变换,化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准型.

Answer 1

A=

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A+E=

1 1 1

1 1 1

1 1 1

-->

1 1 1

0 0 0

0 0 0

对应方程 x1+x2+x3=0

(1,-1,0)^T 显然是一个解

与它正交的解有形式 (1,1,x)^T

代入方程 x1+x2+x3=0 确定x=-2

得正交的基础解系 (1,-1,0)^T, (1,1,2)^T

这只是一个小技巧. 正常做法是求出基础解系, 然后正交化.