初三数学竞赛题——圆幂定理(全部答出另加十分)

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  • 1连接OP交AB与G则PG垂直于AB 利用勾股定理 AP^2-AG^2=PD^2-DG^2 再利用割线定理 AP^2=PE*PC,AD*DB=DE*CD 得PE*PC=PD^2+(AG-DG)*(AG+DG)=PD^2+AD*DB=PD^2+DE*CD

    即 PE*(PD+CD)=PD^2+DE*CD 得 PE*CD=PD^2+DE*CD-PE*PD=PD*DE+DE*CD=DE*PC 得证

    2 利用ADC和EDB;ADE和CDB相似可以推出DB/AD=BC/AC*EB/AE 再利用 PAE和PCA;PEB和PBC相似得 AE/AC=AP/PC; EB/BC=BP/PC 再利用 AP=BP 得 AE/AC=EB/BC 综合得结论

    3实际上是1的等价变形;或者作OF垂直于PC于F 利用POF与PDG相似 且PF=1/2(PE+PC)

    得 PF/PG=PO/PD 即 PF=PG*PO/PD=PA^2/PD=PE*PC/PD 即 2/PD=2PF/(PE*PC)=1/PE+1/PC