Question

已知函数 f(x)= 4 e x e x +1 （e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为t，且a＞t，f（a）

Answer 1

（1）f′（x）=

4 e x

( e x +1) 2 =

4

e x +

1

e x +2 ≤1，导函数f′（x）的值域（0，1]，

（2）设g（x）=f（x）-x，则g′（x）=f′（x）-1≤0，所以g（x）在R上是减函数，

∵a＞t，方程f（x）=x的一个根为t，即g（t）=0，

∴g（a）＜g（t）=0，而g（a）=f（a）-a

∴f（a）-a＜0，f（a）＜a，f（a）=b，即a＞b；

设h（x）=f（x）+x，则h′（x）=f′（x）+1≥0，

∴h（x）在R上是增函数，又a＞b，

∴h（a）＞h（b），

即a+f（a）＞b+f（b）．