这明明是恒等式,lz怎么说是不等式?
由于xk=e^(2πki/n),k=0,1,...,n-1这n个不同的复试都满足方程n次x^n-1=0,所以它们构成方程的所有根,因此一定有分解因式
x^n-1=(x-x0)(x-x1)...(x-x(n-1))
而(x^n-1)/(x-x0)=(x^n-1)/(x-1)=x^(n-1)+x^(n-2)+...+1
所以x^(n-1)+x^(n-2)+...+1=(x-x1)...(x-x(n-1))
令x=1得n=(1-x1)...(1-x(n-1))
而1-xk=1-e^(2πki/n)=-2ie^(πki/n)sin(πk/n).所以上式相当于
n=(-2i)^(n-1)*e^(πi(1+2+...+n-1)/n)∏(k从1到n-1)sin(kπ/n)
注意到e^(πi(1+2+...+n-1)/n)=e^(πi(n-1)/2)=i^(n-1).可知欲证式成立