Question

（2013•广州三模）设函数f（x）=2sinx-cosx．

Answer 1

解题思路：（1）x₀是函数f（x）的一个零点，即2sinx₀-cosx₀=0，由同角三角函数基本关系式得

tan

x

0

＝

1

2

，利用二倍角公式及同角三角函数基本关系式将cos2x₀变换为二次齐次式，分子分母同除以cos²x₀，代入

tan

x

0

＝

1

2

即可

（2）先求函数f（x）的导函数f′（x），因为x₀是函数f（x）的一个极值点，所以f′（x₀）=0，由同角三角函数基本关系式得tanx₀=-2，利用二倍角公式及同角三角函数基本关系式将sin2x₀变换为二次齐次式，分子分母同除以cos²x₀，代入tanx₀=-2即可

（1）∵x₀是函数f（x）的一个零点，∴2sinx₀-cosx₀=0，从而tanx0＝

1

2．

∴cos2x0＝

cos2x0−sin2x0

cos2x0+sin2x0＝

1−tan2x0

1+tan2x0＝

1−

1

4

1+

1

4＝

3

5

（2）f'（x）=2cosx+sinx，

∵x₀是函数f（x）的一个极值点

∴f′（x₀）=0，

∴2cosx₀+sinx₀=0，从而tanx₀=-2．

∴sin2x0＝2sinx0cosx0＝

2sinx0cosx0

sin2x0+cos2x0＝

2tanx0

1+tan2x0＝

2×(−2)

1+4＝−

4

5

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．

考点点评： 本题考查了同角三角函数基本关系式及其应用，二倍角公式，导数与函数极值的关系，整体代入求值的思想方法