抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，O为坐 - 知识问答

抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点；当抛物线上点N的纵坐标为1时，|NF|=2，已知直线l经过抛物

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解题思路：（1）由抛物线的定义及点N的纵坐标为1，得
|NF|＝
p
2
+
y
N
＝
p
2
+1
，结合|NF|=2，求出p的值，即可求抛物线C的方程；
（2）设直线l的方程为：y=kx+1，代入抛物线方程，利用弦长公式求出|AB|，再求出O到AB的距离，利用△AOB的面积为4，求出k的值，即可求直线l的方程．
（1）由已知得焦点F(0，
p
2)，准线方程为y＝−
p
2，
由抛物线的定义及点N的纵坐标为1，得|NF|＝
p
2+yN＝
p
2+1
又|NF|=2，
∴
p
2+1＝2∴p＝2，
∴抛物线的方程为x²=4y（4分）
（2）依题意设直线l的方程为：y=kx+1（k必存在）
y＝kx+1
x2＝4y⇒x2−4kx−4＝0，…（6分）
则△=16k²+16＞0，
设直线l与抛物线的交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，…（8分）
∴|AB|＝
1+k2|x1−x2|＝
1+k2•
(x1+x2)2−4x1x2＝4(1+k2)…（10分）
∵O到AB的距离d＝
1
点评：
本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．

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