Question

设函数f（x）=logax（a为常数且a＞0，a≠1），已知数列f（x1），f（x2），…，f（xn），…是公差为2的等

Answer 1

解题思路：（1）由f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，且

x

1

=

a

2

，知f（x_n）=loga（a²）+2（n-1）=2n．由此能求出数列{x_n}的通项公式．

（2）由（1）和a=[1/2]得，x₁+x₂+…+x_n=（[1/2]）²+（[1/2]）⁴+…+（[1/2]）²ⁿ=

1

3

•[1-

(

1

4

)

n

]

．由此能够证明当

a=

1

2

时，

x

1

+

x

2

+…+

x

n

＜

1

3

．

（1）∵f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差为2的等差数列，

且x1=a2，

∴f（x_n）=loga（a²）+2（n-1）=2n．

∵f（x_n）=loga（x_n）=2n，

∴x_n=a²ⁿ．

（2）由（1）和a=[1/2]得，

x₁+x₂+…+x_n

=（[1/2]）²+（[1/2]）⁴+…+（[1/2]）²ⁿ

=

1

4[1-(

1

4)n]

1-

1

4

=

1

3•[1-(

1

4)n]．

∵1-(

1

4)n＜1，

∴

1

3•[1-(

1

4)n]＜[1/3]．

故当a=

1

2时，x1+x2+…+xn＜

1

3．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．