Question

已知数列{an}前n项的和Sn，且a1=1，an+1=−13Sn（n∈N*）

Answer 1

解题思路：（1）利用已知条件直接求解求a₂，a₃，a₄的值；

（2）通过（1）直接猜想数列{a_n}的通项公式，并利用数学归纳法证明步骤直接证明即可．

解（1）：由a_n+1=−

1

3S_n（n∈N*），且a₁=1得

a₂=-[1/3]….1′

a₃₌-[2/9]….1′

a₄₌-[4/27]…..1′

（2）：猜想：a_n=

1(n＝1)

−

1

3(

2

3)n−2(n≥2)…2′

下面用数学归纳法证明：

（ⅰ）当n=1、n=2时，a₁=1，a₂=-[1/3]，猜想结论成立…1′

（ⅱ）假设当n=k（，k≥2，k∈N*），猜想结论成立．

当n=k+1时，

a_k+1=−

1

3S_k=-[1/3]（S_k-1+a_k）

=-[1/3]S_k-1−

1

3a_k

=a_k−

1

3a_k

=

2

3ak

=

2

3[−

1

3•(

2

3)k−2]

=−

1

3(

2

3)k+1−2…3′

由（ⅰ），（ⅱ）可得，猜想对任意n∈N*都成立．…1′．

点评：

本题考点： 数学归纳法；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立．