对于任意自然数n,有n=2^b*5^c*m(b,c是整数且b≥0,c≥0)
设m的位数为d,则构建一个自然数k,k=5^b*2^c*(10……020……030……040……050……060……070……080……090),其中每两个位置之间的零的个数为b+c+d.
不难证明,对于任意n,在乘以5^b*2^c之后,位数不会超过b+c+d
且,对于任意n,在乘以5^b*2^c之后,去掉后面的零之后最后一位一定是不为5的奇数.
由于1,3,7,9乘以1-9末位可以得出1-9的每个数码,而最后一位又已经确定是0
所以所列出的k可以满足条件.
对于任意确定的自然数n,可知,b,c与d一定是有限的,则k一定是自然数.即为所求.
即对任意给定的自然数n,必存在一个自然数k,使条件成立.