解题思路：（1）求导函数，利用导数的正负可得函数的单调区间；
（2）对
∀
x
1
∈[0，
π
3
]
，
∀
x
2
∈[0，
π
3
]
，都有|f（x1）-f（x2）|≤a恒成立，等价于|f（x1）-f（x2）|max≤a，由此可求实数a的取值范围．
（1）由f（x）=tanx-8sinx，得f′(x)＝
1
cos2x−8cosx＝
1−8cos3x
cos2x＞0，
即 cosx＜
1
2，其中x∈(−
π
2，
π
2)，解得，x∈(−
π
2，−
π
3)∪(
π
3，
π
2)，
所以，函数f（x）的单调递增区间是：(−
π
2，−
π
3)，(
π
3，
π
2)，递减区间是(−
π
3，
π
3)．
（2）若对∀x1∈[0，
π
3]，∀x2∈[0，
π
3]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a恒成立，
只需|f（x1）-f（x2）|max≤a．
由（1）得 f（x）在区间 (0，
π
3)上单调递减，
所以，当x1∈[0，
π
3]时，-3
3≤f（x1）≤0，
同理，-3
3≤f（x2）≤0，
所以，-3
3≤f（x1）-f（x2）≤
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；三角函数的最值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．