Question

如图所示,直线PD为三角形ABC一边BC的垂直平分线,点D为垂足,连接CP并延长CP交边AB于点F,射线BP交边AC与点

Answer 1

（1）证明：作BM⊥CF于点M,CN⊥BN于点N,

∵PD为BC的垂直平分线,

∴PB=PC,

∴∠PBC=∠PCB,∴BM=CN,

∵∠A=∠BPF,∴∠BFP=∠BEA,

∵∠BEA=∠CEN,∴∠CEN=∠BFP,

∵在RT△BFM和RT△CEN中,

∠BFP＝∠CEN

∠BMF＝∠CNE＝90°

BM＝CN

,

∴RT△BFM≌RT△CEN,（AAS）

∴BM=CF；

（2）∵∠BPF=60°,BP=CP,

∴∠PBD=∠PCD=30°,

∴∠MBP=∠PBD=30°,

∵在△BPM和△BPD中,

∠PBM＝∠PBD

BP＝BP

∠BPM＝∠BPM

,

∴△BPM≌△BPD,（ASA）

∴PM=PD．

∵在△BPM和△CPN中,

∠BMP＝∠CNP＝90°

∠BPM＝∠CPN

BP＝CP

,

∴△BPM≌△CPN,（AAS）

∴PM=PN,

∴PE+PF=PM+FM+PE=PM+PN=2PD,

即PE+PF=2PD；

（3）∵∠PBD=30°,∴PC=2PD,

∴PE+PF=8,

∴（PF-PE）2=（PF+PE）2-2PE•PF=46,

∴PF-PE=

46

．