证明:
不妨设A(x1,y1),B(x2y2)是双曲线上的点,Q是弦AB的中点,直线AB的斜率为k.
则有(x1+x2)/2=1,(x2+y2)/2=1
且有x1^2-y1^2 /2=1----------①
x2^2-y2^2 /2=1----------②
①-②得到(x1+x2)(x1-x2)-[(y1+y2)(y1-y2)]/2=0
整理得2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)
即k=(y1-y2)/(x1-x2)=2(x1+x2)/(y1+y2)=2
双曲线的渐近线斜率为2和-2
此时直线AB和渐近线平行,直线AB与双曲线只有一个交点,与题设矛盾.
所以证得证明不存在以Q为中点的弦.