已知双曲线x²-y²/2=1,若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦

2个回答

  • 证明:

    不妨设A(x1,y1),B(x2y2)是双曲线上的点,Q是弦AB的中点,直线AB的斜率为k.

    则有(x1+x2)/2=1,(x2+y2)/2=1

    且有x1^2-y1^2 /2=1----------①

    x2^2-y2^2 /2=1----------②

    ①-②得到(x1+x2)(x1-x2)-[(y1+y2)(y1-y2)]/2=0

    整理得2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)

    即k=(y1-y2)/(x1-x2)=2(x1+x2)/(y1+y2)=2

    双曲线的渐近线斜率为2和-2

    此时直线AB和渐近线平行,直线AB与双曲线只有一个交点,与题设矛盾.

    所以证得证明不存在以Q为中点的弦.