Question

已知：数列{a n }的前n项和为S n ，a 1 =3且当n≥2n∈N + 满足S n﹣1 是a n 与﹣3的等差中项

Answer 1

（1）由题知，S _n﹣1是a _n与﹣3的等差中项．

∴2S _n﹣1=a _n﹣3即a _n=2S _n﹣1+3（n≥2，n∈N*）

a ₄=2S ₃+3=2（a ₁+a ₂+a ₃）+3=81

（2）由a _n=2S _n﹣1+3（n≥2，n∈N*）①

a _n+1=2S _n+3（n∈N*）②

②﹣①得a _n+1﹣a _n=2（S _n﹣S _n﹣1）=2a _n

即a _n+1=3a _n（n≥2，n∈N*）③

∵a ₂=3a ₁也满足③式 即a _n+1=3a _n（n∈N*）

∴{a _n}是以3为首项，3为公比的等比数列．

∴a _n=3 ⁿ（n∈N*）