Question

更相减损法为什么可以求出两个数的最大公约数你?数学原理是什么?

Answer 1

举个例子,比如 98和63的最大公约数是7.98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 这样之所以能求出来,是因为假定98和63最大公约数是M 那么98=a*M,63=b*M,a b都是正整数.98-63=35 所以这个差应该是（a-b）M 接下来M就可以看作是求63和35的公约数.那么M为什么又是63和35最大的公约数呢?假设有个数N是63和35最大的公约数而且N大于M,使得63=A*N,35=B*N.那么98=63+35=（A+B）N,也就是说98和63的最大公约数变成了N,这就与一开始矛盾了.于是这样循序渐进地减下去,M一直是2个数的最大公约数,最后可以得出M的值.还有另一种比较容易懂的理解方式.如果要求两个数X,Y的最大公约数T 把X,Y看成由若干个T组成的数.X:T T T T T T T T T…… Y:T T T T T…… 因为那么X-Y是啥意思呢?意思就是X比Y多的T构成的数,这样减的话这个差永远是整数个T,于是一直这样互相减下去,最后减出来肯定是只有一个T（遇到偶数除个2就行了）,所以T是多少就浮出水面了.