Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知[cosA/cosB=-ab+2c]．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinC不为0，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；

（Ⅱ）由cosA的值，利用余弦定理列出关系式，再由sinA的值，利用正弦定理列出关系式，表示出sinB与sinC，代入所求式子中，再将余弦定理得出的关系式代入，利用基本不等式变形后，即可求出所求式子的最大值．

（Ⅰ）∵[cosA/cosB]=-[a/b+2c]，

∴由正弦定理可得：[cosA/cosB]=-[sinA/sinB+2sinC]，

整理得：cosAsinB+2cosAsinC=-sinAcosB，即2cosAsinC=-sin（A+B），

∴2cosAsinC=-sinC，

∴cosA=-[1/2]，

又A为三角形的内角，则A=[2π/3]；

（Ⅱ）由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，①

由正弦定理得：[b/sinB]=[c/sinC]=[a

sin

2π/3]=

2a

3，

∴sinB=

3b

2a，sinC=

3c

2a，

∴sinB•sinC=[3bc

4a2，②

①代入②，sinB•sinC=

3bc

4(b2+c2)+4bc≤

3bc/8bc+4bc]=[1/4]，

当且仅当b=c时，sinBsinC取最大值[1/4]．

点评：

本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．