1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱AA1,CC1的中点,求证：D1、E、F、B共面.
2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,问过A1作与截面PBC1平行的截面也是三角形吗?并求该截面的面积.
1>证明:
如图:要证明D1,E,F,B共面,即证EB‖D1F.
设G为BB1的中点,连接A1G,GF.
易证A1CFD1为平行四边形.则有D1F平行于A1G
有由A1E平行且相等于GB所以EBGA1为平行四边形,则有A1G平行EB.
∴D1F‖EB
所以D1,E,F,B共面.
2>不是三角形.面积为2√6
设D1C1,AB,的中点分别为E,F,连接A1E,EC,CF,FA1,A1C,EF,EF交A1C于O.
易证面A1FCE中的A1F,A1E分别与面PBC1中的PB,PC1平行.
所以面A1FCE平行于面PBC1
又:正方形的棱长是2,用勾股定律易得A1E=EC=CF=FA1=√5且A1F‖EC,A1E‖FC
∴四边形A1ECF为菱形.而且有A1C⊥EF.
又EF‖=BC1,BC1=√BC＾2+CC1＾2=2√2,
∴EF=2√2
又有A1C=2CO
在Rt△COF中CF=√5,FO=1/2EF=√2∴CO=√3∴A1