这些个题你反复用等价无穷小替换、罗比达法、换元法则还有常用e的极限式就是了,没什么好说的,你只有反复多做题多联系才能熟练.
第一题：要用sinx x 以及罗比达法则：
原式 = lim (x趋于0) cos(x) [x - sin(x)] / [x(sin(x))^2] (通分而已)
= lim (x趋于0) [x - sin(x)] / [x(sin(x))^2]
(cos(x)极限是1,能求出有限极限的就先求,求完了拿出来省事)
= lim (x趋于0) [x - sin(x)] / x^3 (分母等价无穷小替换,这样方便用罗比达)
= lim (x趋于0) sin(x) / (6x) (对上面的用两次罗比达就得到这个)
= 1/6.
第二题：换元、无穷小替换、罗比达
看到ln(1+x)马上就换成x,这里x虽然趋于无穷,但1/x和3/x正好趋于0,这样就能替换了：
原式 = lim (x趋于无穷) x [ sin (3/x) - sin (1/x) ]
= lim (t 趋于0) [sin(3t) - sin(t)] / t (下面要用罗比达了)
= lim (t趋于0) 3cos(3t) - cos(t) = 2
都是这个套路,先替换或者换元,换成简单形式了,用罗比达一举搞定.
第三题：想方设法化成极限e的形式
原式 = lim (n趋于无穷) [(n+1-3)/(n+1)]^n
里面的式子,(n+1-3)/(n+1) = 1 + (-3)/(n+1),然后你就把 (n+1)/(-3)看成e极限里面的n,就搞定了.
[(n+1-3)/(n+1)]^n = { [1 + (-3)/(n+1) ] ^ ((n+1)/(-3)) } ^ [(-3n)/(n+1)]
这是在配指数,因为e极限的形式里,指数上要求是里面的分母,所以先配好e的极限形式,这是第一个指数怎么来的,第二个指数是为了抵消它,然后再乘以原来的n.这样,整个大括号里面的极限就是e,而剩下部分的极限是-3,所以原极限就是exp(-3)；
第五题也是如法炮制,你自己算吧,答案是exp(2a),不写了,也得让你练习练习.
第四题：
看不懂哪里有n,难道是在开n次方吗?还是你的极限是关于x的.我就当你是x趋于0正的极限好了.这里就是用到取对数、tanx x以及罗比达.
原式 = lim (x趋于0正) 1 / x^(tan(x) / 2),求出分母的极限即可.
分母是0的0次方不定式,所以要取对数来求极限：
ln (x^ (tan(x) / 2)) = [tan(x)/2] ln(x) x ln (x) /2
x ln (x) = ln (x) / (1/x),对它用罗比达,上下求导后得到 - (1/x ) / (1/x^2) ,极限就是0,于是
ln (x^ (tan(x) / 2)) 趋于0 ,x^ (tan(x) / 2)趋于1,答案是1.