解题思路：（1）由函数
f(x)＝
mx+2
x−1
的图象关于直线y=x对称，知道原函数与反函数解析式一样，从而求出m的值；
（2）利用定义法证明，函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）根据f（x）的值域求其a的值，再由第二问函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减，求出t的范围；
（1）∵函数f(x)＝
mx+2
x−1的图象关于直线y=x对称
∴f−1(x)＝
x+2
x−m
∴m=1（5分）
（2）函数f(x)＝
x+2
x−1在区间（1，+∞）上单调递减（6分）
设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2则：f(x1)−f(x2)＝
2(x2−x1)
(x1−1)(x2−1)＞0（8分）
∴f(x)＝1+
3
x−1在（1，+∞）上的单调递减（10分）
（3）∵函数f(x)＝
x+2
x−1=1+[3/x−1]
∴函数f(x)＝
x+2
x−1的值域是（-∞，1）∪（1，+∞）
∵直线y=a（a∈R）与f（x）的图象无公共点
∴y=1，
得a=1，（12分）
又f(|t−2|+
3
2)＜4＝f(2)，
∵f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
∴|t−2|+
3
2＞2
∴t＜
3
2或t＞
5
2．
点评：
本题考点： 反函数；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
考点点评： 此题主要考查反函数的定义，函数单调性的证明及其应用，第三问求a的值，是利用函数f（x）的值域来求，想法比较新颖，是一道好题．