Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，对任何正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，且在点Pn（n

Answer 1

解题思路：（1）根据题中已知条件，先求出数列{a_n}的前n项和S_n的表达式，进而求得数列{a_n}的通项公式；

（2）根据题中条件求出K_n的表达式，结合前面求得的数列{a_n}的通项公式，即可求得数列{b_n}的通项公式，进而可以求出数列{b_n}的前n项和T_n．

（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，

∴S_n=n²+2n（n∈N^*）．…（3分）

当n=1时，a₁=S₁=1+2=3；

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1 ①

当n=1时，a₁=3也满足①式．

∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．…（6分）

（2）由f（x）=x²+2x求导可得f′（x）=2x+2．

∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为K_n，

∴K_n=2n+2．…（8分）

又∵bn＝2Kn•an，

∴b_n=2²ⁿ⁺²（2n+1）=4（2n+1）•4ⁿ，

∴T_n=4×3×4¹+4×5×4²+4×7×4³+…+4（2n+1）•4ⁿ ①

由①×4得：∴4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴+…+4（2n+1）•4ⁿ⁺¹ ②

①-②得-3T_n=4×（3×4+2×4²+2×4³+…+2×4ⁿ-（2n+1）4ⁿ⁺¹）

=4×（12+2×

16×(1−4n−1)

1−4-（2n+1）4ⁿ⁺¹）=[4/3−

1

3×(6n+1)4n+1

所以 T_n=

1

9×(6n+1)44n+1−

4

9]…（12分）

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题主要考查了数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列与函数的综合掌握，是各地高考的热点，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．