Question

（2008•上海模拟）抛物线y=（n2+n）x2-（2n+1）x+1（n∈N*），交x轴于An，Bn两点，则|A1B1|

Answer 1

解题思路：A_n、B_n是抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴的交点，所以其横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，求出一元二次方程的根，根据两点间的坐标差求出距离，找出规律解答即可

由已知A_n、B_n的横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，

即A_n、B_n的横坐标为（n²+n）（x-[1/n]）（x-[1/n+1]）=0的根．

故抛物线与x轴交点坐标为（ [1/n]，0）和（ [1/n+1]，0）

由题意，AnBn=[1/n−

1

n+1]．

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₈B₂₀₀₈|=1-[1/2]+[1/2]−

1

3+[1/3]-[1/4]+…+[1/2008−

1

2009]=1-[1/2009]=[2008/2009]．

故答案为：[2008/2009]．

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： （1）本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题；

（2）求两点间的距离时，要利用两点间的坐标差来解答．