Question

数学函数证明设下面所考虑的函数都是定义在区间（-l,l)上的,证明：（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数

Answer 1

1)设f(x),g(x)为定义在区间（-l,l)上的函数,F(x)=f(x)+g(x)

当f(x),g(x)都为偶函数时

f(x)=f(-x)

g(x)=g(-x)

F(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=F(-x)

即两个偶函数的和是偶函数

同理

当f(x),g(x)都为奇函数时

f(x)=-f(-x)

g(x)=-g(-x)

F(x)=f(x)+g(x)=-f(-x)-g(-x)=-F(-x)

即两个奇函数的和是奇函数

2）设F(x)=f(x)*g(x)

当f(x),g(x)都为偶函数时

f(x)=f(-x)

g(x)=g(-x)

F(x)=f(x)*g(x)=f(-x)+g(-x)=F(-x)

即两个偶函数的积是偶函数

同理

当f(x),g(x)都为奇函数时

f(x)=-f(-x)

g(x)=-g(-x)

F(x)=f(x)*g(x)=【-f(-x)】*【-g(-x)】=F(-x)

即两个奇函数的积是偶函数

同理

当f(x)为偶函数,g(x)为奇函数时

f(x)=f(-x)

g(x)=-g(-x)

F(x)=f(x)*g(x)=f(-x)*【-g(-x)】=-F(-x)

即两个奇函数的积是奇函数