下表用 "[ ]"
1）由 x[n+1]=1/2( x[n] + a/x[n] ) 知道x[n]>0时,x[n+1]>0
而x[1]=a>0,所以所有的 x[n]>0
等式两边减根号a：x[n+1] - 根号a = 1/(2x[n]) * ( x[n]^2 + a ) - 根号a
x[n+1] - 根号a =1/(2x[n]) * ( x[n]^2 - 2根号a *x[n] +a )
x[n+1] -根号a=( x[n] - 根号a )^2 / ( 2*x[n] )
从等式右边看出时大于等于0的,所以所有的x[n+1]≥根号a
2） x[n] - x[n+1]
= x[n] - 1/2( x[n] + a/x[n] )
= 1/2( x[n] - a/x[n] )
=( x[n]^2 - a ) / ( 2*x[n] )
由1）的结论知道,x[n]≥x[n+1]
3）由2）的结论知道,x[n]是单调递减,而且x[n]≥根号a>0
所以它一定有极限.设它趋向于x,即x=lim x[n]
x[n+1]=1/2( x[n] + a/x[n] ) 两边取极限：x=1/2(x+a/x)
求出 x=根号a
即lim x[n]=根号a