Question

（2010•江西模拟）已知数列{an}中，a1=1，且满足递推关系an+1＝2a2n+3an+man+1(n∈N*)．

Answer 1

（1）m=1，由an+1＝

2

a2n+3an+1

an+1(n∈N*)，

得：an+1＝

2(an+1)(an+1)

an+1=2a_n+1，所以a_n+1+1=2（a_n+1），

∴{a_n+1}是以2为首项，公比也是2的等比例数列．

于是a_n+1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ-1．

（2）由a_n+1≥a_n．而a₁=1，知a_n＞0，∴

2

a2n+3an+m

an+1≥a_n，即m≥-a_n²-2a_n

依题意，有m≥-（a_n+1）²+1恒成立．∵a_n≥1，∴m≥-2²+1=-3，即满足题意的m的取值范围是[-3，+∞）．

（3）-3≤m＜1时，由（2）知a_n+1≥a_n，且a_n＞0．

设数列cn＝

1

an+1，则cn+1＝

1

an+1+1＝

1

2

a2n+3an+m

an+1+1＝

an+1

2(an+1)2+m−1，

∵m＜1，即m-1＜0，

故cn+1＞

an+1

2(an+1)2＝

1

2•

1

an+1＝

1

2cn，

∴c1＝

1

2，c2＞

1

2c1＝

1

22，c3＞

1

2c2＞

1

23，…，cn＞

1

2cn−1＞

1

2n(n≥2)

∴c1+c2+…+cn＝

1

a1+1+

1

a2+1+…+

1

an+1＞

1

2+

1

22+…+

1

2n＝

1

2(1−

1

2n)

1−

1

2

=1−

1

2n．

即在-3≤m＜1时，有

1

a1+1+

1

a2+1+…+

1

an+1≥1−

1

2n成立．