如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.

1个回答

  • 解题思路:(1)要求证:FD2=FB•FC,只要证明△FBD∽△FDC,从而转化为证明∠FDC=∠FBD;

    (2)要证DG⊥EF,只要证明∠5+∠1=90°,转化为证明∴∠3=∠4即可.

    (1)证明:∵E是Rt△ACD斜边中点,

    ∴DE=EA,

    ∴∠A=∠2,(1分)

    ∵∠1=∠2,

    ∴∠1=∠A,(2分)

    ∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,

    ∴∠FDC=∠FBD,

    ∵∠F是公共角,

    ∴△FBD∽△FDC.(4分)

    ∴[FB/FD=

    FD

    FC].

    ∴FD2=FB•FC.(6分)

    (2)GD⊥EF.(7分)

    理由如下:

    ∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,

    ∴DG=GC.

    ∴∠3=∠4.

    由(1)得∵△FBD∽△FDC,

    ∴∠4=∠1,

    ∴∠3=∠1.(9分)

    ∵∠3+∠5=90°,

    ∴∠5+∠1=90°.

    ∴DG⊥EF.(10分)

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

    考点点评: 证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似,证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角.