（1）由抛物线C1：y=a（x-2）2-5得顶点P的坐标为（2，-5）；
∵点A（-1，0）在抛物线C1上，
∴a（-3）2-5=0，
解得：a＝
5
9．
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，
∵点P、M关于点A成中心对称，
∴PM过点A，且PA=MA，
∴△PAH≌△MAG，
∴MG=PH=5，AG=AH=3．
∴顶点M的坐标为（-4，5），
∵抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到，
∴抛物线C3的表达式y＝−
5
9(x+4)2+5．
（3）∵抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
由（2）得点N的纵坐标为5，
设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R，
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2AH=6，
∴EG=3，点E坐标为（m-3，0），H坐标为（2，0），R坐标为（m，-5），
根据勾股定理，得PN2=NR2+PR2=m2-4m+104，PE2=PH2+HE2=m2-10m+50，NE2=52+32=34，
①当∠PNE=90°时，PN2+NE2=PE2，
解得m=−
44
3，即N点坐标为（−
44
3，5）．
②当∠PEN=90°时，PE2+NE2=PN2，
解得m=−
10
3，即N点坐标为（−
10
3，5）．
③∵PN＞NR=10＞NE，
∴∠NPE≠90°；
综上所得，当N点坐标为（−
44
3，5）或（−
10
3，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．