Question

已知椭圆C：x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，过F的值线l交椭圆C于A、B两点，过F2且平行于l的直线l1交椭

Answer 1

解题思路：（1）由椭圆的定义可得△ABF2的周长；（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠π2时，求出点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离，|AB|，计算三角形的面积，利用基本不等式求最值；当θ=π2时，|AB|=1，d=23，此时S△ABM=3＜2，由此可得△ABM面积的最大值．

（1）由椭圆的定义可得△ABF₂的周长=|AB|+AF₂|+|BF₂|=4a=8；

（2）设直线l的倾斜角为θ，当θ≠[π/2]时，l：y=tanθ（x+

3），l₁：y=tanθ（x-

3）

点M到直线l的距离即为两条平行线间的距离：d=2

3sinθ

∵|AB|=

2×

b2

a2

1-e2cos2θ=[1

1-

3/4cos2θ]

∴S_△ABM=

1

2×

1

1-

3

4cos2θ×2

3sinθ=

4

3

1

sinθ+sinθ≤

4

3

2

3=2

当且仅当sinθ=

3

3时，取等号

当θ=[π/2]时，|AB|=1，d=2

3，此时S△ABM=

3＜2

∴△ABM面积的最大值为2．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查椭圆的定义，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．