Question

点差法问题已知椭圆的中心在坐标圆点,焦点在坐标轴上,直线x-y+1＝0 椭圆交点P,Q,OP垂直OQ,PQ长（根号10）

Answer 1

设椭圆方程为ax^2+by^2=1

P（x1,y1）,Q（x2,y2）

直线x-y+1＝0 则x=y-1 (1)

y=x+1 (2)

(1)代入椭圆方程

(a+b)y^2-2ay+a-1=0

所以y1+y2=2a/(a+b)

y1*y2=(a-1)/(a+b)

(2)代入椭圆方程

(a+b)x^2+2bx+b-1=0

x1+x2=-2b/(a+b)

x1*x2=(b-1)/(a+b)

OP垂直OQ

则y1*y2/x1*x2=-1

a-1=1-b a=2-b (3)

PQ长（根号10）/2

则(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=5/2

x1^2+x2^2-2x1x2+y1^2+y2^2-2y1y2=5/2

(x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2=5/2

因为x1x2=-y1y2

所以

(x1+x2)^2+(y1+y2)^2=5/2

4b^2/(a+b)^2+4a^2/(a+b)^2=5/2

8a^2+8b^2=5(a+b)^2

3a^2-10ab+3b^2=0

(a-3b)(3a-b)=0

所以a=3b或3a=b

代入（3）式得

b=1/2 a=3/2

a=1/2 b=3/2

椭圆方程

x^2/2+3y^2/2=1 或

3x^2/2+y^2/2=1