正四面体ABCD的各边长均为2,E、F分别为AC、BD的中点(1)求证EF是异面直线AC与BD的公垂线,并求异面直线AC

2个回答

  • 连接AF 、CF

    四面体ABCD为正四面体,所以各面均为正三角形

    所以AF=CF

    所以三角形ACF为等腰三角形,又E 为AC中点

    所以EF垂直于AC

    同理,连接BE,DE

    可得EF垂直于BD

    又AC与BD不相交也不平行,因此,EF垂直于AC和BD,

    又EF与AC交于E,与BD交于F

    所以EF是AC与BD的公垂线

    则异面直线AC、BD的距离即为EF

    AF=√(3),AE=1,AE⊥EF

    所以EF=√2

    即两异面直线距离为√2

    设G为DC的中点,连接FG

    则FG//BC

    所以EF与BC所成角即为∠EFG

    在三角形EFG中,EF=√2,EG=0.5AD=1,FG=0.5BC=1

    所以三角形EFG为等腰三角形,又1^2+1^2=(√2)^2

    所以EFG为等腰直角三角形,∠EGF=90度,∠EFG=∠FEG=45度

    即EF与BC所成角为45度