Question

如图19-41-8,在梯形ABCD中,AB‖CD,∠A+∠B=90°,E.F分别是AB.CD的中点,求证：EF=&fra

Answer 1

证明：过D作DM‖BC交AB于M,取AM中点N,连DN,

得平行四边形CDMB,

所以CD=BM,∠B=∠DMA

所以AM=AB-BM=AB-CD,

又∠A+∠B=90°

所以∠A+∠DMA=90,

所以∠ADM=90°

因为N是AM中点,

所以AN=AM/2=(AB-CD)/2,

因为E是AB的中点,

所以AE=AB/2,

所以NE=AE-AN=AB/2-(AB-CD)/2=AB/2-AB/2+CD/2

因为F是CD的中点,

所以DF=CD/2,

所以NE=DF,

又AB‖CD,

所以四边形DFEN是平行四边形,

所以EF=DN,

因为在直角三角形ADM中,N是斜边AM中点,

所以DN=AM/2=(AB-CD)/2

所以EF=½（AB-CD)